费马大定理
费马大定理看上去如此简易，因为它立足于人人都能记住的一段数学术语——毕达哥拉斯（Pythagoras）定理：
在一个直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方之和。
从毕达哥拉斯定理到费马大定理
在E. T.贝尔的《大问题》一书中谈到过毕达哥拉斯定理和三元组的无限性，图书馆中的这本书引起年幼的安德鲁·怀尔斯的注意。虽然兄弟会对于毕达哥拉斯三元组已经有了几乎完整的了解，但怀尔斯很快就发现这个表面上平淡无奇的方程
在毕达哥拉斯方程中，3个数x，y和z都被平方了（即
然而，贝尔的书中描述了它的一个姐妹方程，其中x，y和z被立方了（即
寻找最初那个方程的整数解，即毕达哥拉斯三元组，相对来说是容易的，但是将幂指数从“2”变成“3”再来求这个姐妹方程的整数解似乎是不可能的。多少代的数学家们在拍纸本上算了又算，却无法找到准确地适合这个方程的数。
原来的“平方”方程提出的挑战是重新安排2个正方形中的瓷砖以组成第3个较大的正方形。而“立方”方程的挑战则是重新安排由砌砖组成的2个立方体以组成第3个较大的立方体。明显地，不管选择哪2个立方体着手，当它们被组合起来时，要么是一个完整的立方体但留下一些多余的砖，要么就是一个不完整的立方体。与实现完美的重排最为接近的情形是多了1块或少了1块砖。例如，如果我们从立方体
图5 能不能将砌砖从一个立方体加到另一个立方体以组成第3个较大的立方体？在图中的情形，一个6×6×6立方体加上一个8×8×8立方体仍无足够的砌砖组成一个9×9×9立方体。第一个立方体中有216（
寻找3个准确地适合这个立方方程的数似乎是不可能的。也就是说，方程
似乎没有整数解。更有甚者，如果幂指数从3（立方）改为任何更大的数n（即4，5，6，…），那么寻找解似乎仍是不可能的，即更一般的方程
似乎没有整数解。在毕达哥拉斯方程中仅仅将2改为任何更大的数，寻找整数解的工作就从相对简单变得令人难以想象地困难。事实上，伟大的17世纪法国人皮埃尔·德·费马令人惊讶地宣称，没有人能找到任何解的原因就在于根本没有解存在。
费马是历史上最杰出的和最有迷惑力的数学家之一。他不可能将无穷多个数一一核对，但是他绝对确信没有任何组合会准确地适合这个方程，因为他的结论是以证明为依据的。就像毕达哥拉斯也不是去核对每一个三角形才证明他的定理的正确一样，费马无须核对每一个数以证明他的定理的正确。著名的费马大定理说
毕达哥拉斯
萨摩斯岛（Samos）的毕达哥拉斯是数学史上最具影响但又是最神秘的人物之一。由于没有关于他的生活和工作的第一手资料，他被笼罩在神秘和传说之中，使得历史学家们难以分清事实与虚构。似乎可以肯定的一件事是毕达哥拉斯发展了关于数字的逻辑的思想，并且对数学发展的第一个黄金时期功不可没。由于他的天才，数不再仅仅用来记账和计算，其本身的价值受到了重视。他研究了一些特殊的数的性质、它们之间的关系以及它们的组成方式。他认识到数独立于有形世界而存在，因而他们的研究不会因感觉的差错而受影响。这意味着他能够发现独立于人们的印象或者说偏见的真理，这种真理比以前的任何知识更为绝对无疑。
生活在公元前6世纪，毕达哥拉斯的数学技能得益于他走遍了整个古代世界。某些传说使我们相信他的足迹曾远及印度和英国，但更为可靠的是他从埃及人和巴比伦人那里学到了许多数学技能和工具。这两个古老的民族当时已经超越了简单计数的范围而能够进行复杂的计算，这使他们能建立复杂的记账系统和建造独具匠心的建筑物。事实上，他们将数学看成仅仅是解决实际问题的一种工具；在发现几何学的某些基本规则的背后，其动机是能重建田地的边界，这些边界在尼罗河每年泛滥时常被毁掉。几何学这个词本身意指“测量土地”。
毕达哥拉斯注意到，埃及人和巴比伦人按照一种无须思索就能仿效的方法进行计算。这种可能已经沿袭了许多代人的方法总能给出正确的答案，因而没有人会费神去怀疑这种方法，或者去寻求隐藏在这些式子背后的逻辑。对这些文明古国来说，重要的是计算有效——至于它为什么有效则是无关紧要的。
经历20年的周游后，毕达哥拉斯已经吸收了他所知的那个世界中所有的数学法则。他扬帆起航回到他的家乡爱琴海中的萨摩斯岛，打算建立一所学校致力于哲学研究，特别是研究他新近获得的一些数学法则。他想要理解数字，而不是仅仅使用它们。他希望找到一大群思想无拘束的、能帮助他发展本质上全新的哲学的学生，但是在他外出期间，僭王波利克拉特斯（Polycrates）已经把曾经自由的萨摩斯岛变成了一个不容异说的保守的社会。波利克拉特斯邀请毕达哥拉斯加入他的宫廷，但是哲学家意识到这是一种策略，目的是使他保持沉默，于是拒绝了这份荣耀。相反，他离开了城市，选择了该岛边远地区的一个山洞，在那里他可以冥思苦想而不用害怕受迫害。
毕达哥拉斯并不喜欢孤独，最终他花钱使一个小男孩成为他的第一名学生。这个男孩的身份不甚清楚，但有些历史学家认为他的名字可能也叫毕达哥拉斯。这名学生后来是第一个建议运动员应该吃肉以增强自己体质的人，并因此而出名。老师毕达哥拉斯要为他的学生出席的每一节课付给他3个小银币。几个星期过去后，毕达哥拉斯注意到该男孩最初的对学习的勉强已转变成对知识的热情。为了试探他的学生，毕达哥拉斯佯装他不再有能力支付学生金钱，因而只能停止上课。这时候，男孩表示宁可付钱受教育也不愿就此结束。这个学生已经成为他的信徒。遗憾的是，这是毕达哥拉斯在萨摩斯仅有的一次使人成功皈依。他的确曾经短暂地办过一所学校，称为毕达哥拉斯半圆，但是他关于社会改革的观点不受欢迎，哲学家被迫与他的母亲和唯一的信徒一起逃离这块殖民地。
毕达哥拉斯动身去意大利南部（当时那里是希腊的属地），并定居于克罗敦（Groton）。在那里他幸运地得到了米洛（Milo）的理想的赞助，米洛是克罗敦最富有的人，也是历史上最强壮的人之一。虽然毕达哥拉斯作为萨摩斯的哲人已经闻名全希腊，但米洛的声望更高。米洛有着大力神赫丘利（Herculean）般的身材，曾经是奥林匹亚竞技会和皮托竞技会有12次记录的冠军。除了练习运动外，米洛还喜欢研究哲学和数学。他留出他家的一部分房子，供给毕达哥拉斯足够的房间来建立学校。于是，最有创造性的头脑和最有力量的身躯结成了伙伴关系。
安置好他的新家后，毕达哥拉斯建立了毕达哥拉斯兄弟会——一个有600名追随者的帮会，这些人不仅有能力理解他的课程，而且还能补充某些新的想法和证明。一旦参加兄弟会后，每个成员就必须将他们尘世间的一切财产捐献给公共基金。任何成员如果离开该会，那么他们可收到相当于他们最初捐献的两倍的财产，并为他们竖立一块墓碑以志纪念。兄弟会是一个奉行平等主义的学派，吸收了几名姐妹参加。毕达哥拉斯最喜欢的学生是米洛的女儿，美丽的西诺（Theano）。尽管年龄相差不少，他们最终还是结婚了。
建立兄弟会后不久，毕达哥拉斯撰造了一个名词“哲学家”（philo-sopher），与此同时规定了他的学派的目标。在一次出席奥林匹亚竞技会时，弗利尤斯（Phlius）的利昂（Leon）王子问毕达哥拉斯他会如何描述他自己，毕达哥拉斯回答道：“我是一个哲学家。”但是利昂以前没有听说过这个词，因而请他解释。
利昂王子，生活正好比这些公开的竞技会。在这里聚集的一大群人中，有些人受奖励物的诱惑而来，另一些人则因对名誉和荣耀的企求和受野心的驱使而来，但他们中间也有少数人来这里是为了观察和理解这里发生的一切。
生活同样如此。有些人因爱好财富而被左右，另一些人因热衷于权力和支配而盲从，但是最优秀的一类人则献身于发现生活本身的意义和目的。他设法揭示自然的奥秘。这就是我称之为哲学家的人。虽然没有一个人在各方面都是很有智慧的，但是他能热爱知识，视其为揭开自然界奥秘的钥匙。
虽然许多人知道毕达哥拉斯的抱负，但兄弟会圈外的人都不知道他成功的详情和程度。该学派的每个成员被迫宣誓永不向外界泄露他们的任何数学发现。甚至在毕达哥拉斯死后，还有一个兄弟会成员因为背弃了誓言而被淹死——他公开宣布发现了一种由12个正五边形构成的新的规则立体：正十二面体。毕达哥拉斯兄弟会的高度秘密性是一些神话故事围绕着他们可能举行过的奇异仪式来展开情节的部分原因；同样，这也是为什么关于他们的数学成就的可靠记载如此之少的原因。
可以确认的是毕达哥拉斯缔造了一种社会精神，它改变了数学的进程。兄弟会实际上是一个宗教性社团组织。他们崇拜的偶像之一是数，他们相信，通过了解数与数之间的关系，他们能够揭示宇宙的神圣的秘密，使他们自己更接近神。特别是，兄弟会将注意力集中于“计数数”（1，2，3，…）和分数的研究。计数数有时也叫“整数”，它们与分数（整数之间的比）一起可称之为“有理数”。在这无穷多个数中间，兄弟会寻找那些有特殊重要意义的数，其中某些最特殊的数就是所谓的“完满”数。
按照毕达哥拉斯的说法，数的完满取决于它的因数（能整除原数的那些数）。例如：12的因数是1，2，3，4和6。当一个数的各因数之和大于该数本身时，该数称为“盈”数。于是12是一个盈数，因为它的因数加起来等于16。另一方面，当一个数的因数之和小于该数本身时，该数称为“亏”数。所以10是一个亏数，因为它的因数（1，2和5）加起来只等于8。
最有意义和最少见的数是那些其因数之和恰好等于其本身的数，这些数就是完满数。数字6有因数1，2和3，结果它是一个完满数，因为1＋2＋3＝6。下一个完满数是28，因为1＋2＋4＋7＋14＝28。
如同6和28的完满对兄弟会来说具有数学上的意义一样，还有从事别的文化的人也确认它们的完满，有人观察到月亮每28天绕地球一圈，有人声称上帝用了6天创造世界。在《天堂》（The City of God）一书中，圣奥古斯丁（St. Augustine）辩说道：“虽然上帝能够在瞬间创造世界，但为了表现天地万物的完满，他还是用了6天。”圣奥古斯丁认为6并不是因为上帝选择了它才是完满的，而恰恰相反，完满是数的性质中固有的：“6是一个数，因其本身而完满，并非因上帝在6天中创造了万物；倒过来说才是真实的——上帝在6天中创造万物是因为这个数是完满的。”
当计数数变得更大时，完满数变得难于寻找。第三个完满数是496，第四个是8128，第五个是33550336，而第六个则是8589869056。除了是它们的因数之和外，毕达哥拉斯还指出所有的完满数显示出另外几个美妙性质。例如，完满数总等于一系列相邻的计数数之和。我们有
6＝1＋2＋3，
28＝1＋2＋3＋4＋5＋6＋7，
496＝1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋…＋30＋31，
8128＝1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋…＋126＋127。
毕达哥拉斯因完满数而欣喜，但他并不满足于只是收集这些特殊的数；相反，他想要发现它们更深层的意义。其中之一，他察觉到完满性与“倍2性”有密切关系。数4（2×2），8（2×2×2），16（2×2×2×2）等称为2的幂，可写成2n，这里n表示相乘在一起的2的个数。所有这些2的幂刚巧不能成为完满数，因为它们的因数之和总是比它们本身小1。它们只是微亏：
＝4， 因数1，2 和＝3， ＝8， 因数1，2，4 和＝7， ＝16， 因数1，2，4，8 和＝15， ＝32， 因数1，2，4，8，16 和＝31。 两个世纪之后，欧几里得（Euclid）使毕达哥拉斯发现的“倍2性”和完满性之间的联系更臻精美。欧几里得发现完满数总是两个数的乘积，其中一个数是2的幂，而另一个数则是下一个2的幂减去1。这就是说：
，
，
，
。 当代的计算机继续搜索完满数，发现了像
这样巨大的数的例子，这是一个130000位以上的数，它仍符合欧几里得法则。 毕达哥拉斯为完满数具有的丰富的模式和性质所吸引，他赞赏它们的精妙。初看之下，完满性是相当容易掌握的概念，然而古希腊人并未能探知这个问题中的某些基本要点。例如，虽然有许多数的因数之和只比该数本身小1，即只是微亏，但似乎不存在微盈的数。令人沮丧的是，虽然他们没有发现微盈的数，却不能证明这种数不存在。只知道表面上没有微盈的数是没有任何实际价值的；但尽管如此，它却是一个可能启示这种数的性质的问题，因而值得研究。这样的谜引起了毕达哥拉斯兄弟会的兴趣，但2500年后数学家们仍然未能证明微盈数不存在。
凡物皆数
除了研究数之间的关系之外，数与自然之间的关系也引起了毕达哥拉斯的兴趣。他认识到自然现象是由规律支配的，这些规律可以用数学方程式来描述。他首先发现的联系之一是音乐的和声与数的调和之间的基本关系。
古希腊早期的音乐中最重要的乐器是四弦琴，或者叫四弦里拉。在毕达哥拉斯之前，音乐家们就注意到当几个特定的音一起发声时会产生悦耳的效果，他们调里拉的音直到齐拨两根弦时会产生这种和声为止。然而，早先的音乐家并不理解为什么特定的几个音会是和谐的，乐器调音也没有客观的方法。他们纯粹凭耳朵来调里拉的音，直到处于和声状态为止——柏拉图（Plato）称这个过程为折磨弦轴。
公元4世纪时的学者扬勃里柯斯（Iamblichus）写过9本关于毕达哥拉斯学派的书，他描述了毕达哥拉斯怎么会发现音乐和声的基本原理的：
一次，他全神贯注地思考着他是否能够设计出一种既可信又精巧的听觉方面的机械辅助物。这种辅助物要类似于圆规、直尺和为视觉方面设计的光学器具。同样地，触觉方面有秤以及关于重量和量度的概念。真是天赐好运，他碰巧走过一个铁匠铺，除了一片混杂的声响外，他听到了锤子敲打着铁块，发出多彩的和声在其间回响。
按照扬勃里柯斯的描写，毕达哥拉斯立即跑进铁匠铺去研究锤子的和声。他注意到，大多数锤子可以同时敲打而产生和谐的声响，而当加入某一把锤子一起敲打时总是产生令人不快的噪声。他对锤子进行分析，认识到那些彼此间音调和谐的锤子有一种简单的数学关系——它们的质量彼此之间成简单比，或者说简分数。就是说，那些重量等于某一把锤子重量的1/2，1/3或1/4的锤子都能产生和谐的声响。另一方面，那把和任何别的锤子一起敲打时总发出噪声的锤子，它的重量和别的锤子的重量之间不存在简比关系。
毕达哥拉斯已经发现数值的简比在音乐的和声中起决定作用。科学家们对扬勃里柯斯关于这个故事的描述表示某种怀疑，但是毕达哥拉斯通过研究单弦的性质将他关于乐声比的新理论应用于里拉这种乐器这件事是确确实实的。单单拨弦会产生一个标准音，它是由那根振动着的弦的整个长度产生的。如图1所示，通过将弦在其长度的某处固定，就可能产生不同的振动和不同的音。关键之处在于和音只在非常特殊的一些位置上出现。例如，在弦上恰为一半处固定弦，再拨弦会产生一个与原来的音和谐的高八度的音。类似地，在弦上恰为1/3，1/4或1/5处固定弦，就会产生其他的和音。然而，如果在整个弦的长度的非简分数处固定弦，那么产生的音是不会与上述这些音和谐的。
图1 一根自由振动的空弦产生一个基音。设法在弦上正好一半处形成一个节，那么产生的音则是与原来的基音和谐的高八度的音。通过移动节的位置至弦上不同的简分数距离（例如1/3，1/4，1/5）处，可以产生不同的和音。
毕达哥拉斯首次发现了支配物理现象的数学法则，显示了数学与其他科学之间有着根本的关联。从这个发现以后，科学家们一直在探究那些似乎支配着各个物理过程的数学法则，并且发现数会意外地出现在各种各样的自然现象中。例如，一个特殊的数似乎操纵着弯弯曲曲的河流的长度。剑桥大学的地球科学家汉斯－亨利克·斯多勒姆（Hans-Henrik Stolum）教授计算了从河源头到河出口之间河流的实际长度与它们的直接距离之比。虽然这一比率因不同的河流而变化，但是它们的平均值只比3略微大一点，也就是说大致上是直接距离的3倍。事实上，这个比近似等于3.14，接近于数π的值，即圆的周长与直径之比。
数π原本来自圆的几何学，但它还反复出现在各种各样的科学现象中。在河长比的情形中，π的出现是有序与紊乱相争的结果。爱因斯坦（Einstein）第一个提出，河流有一种走出更多的环形路径的倾向，这是因为最细微的弯曲就会使外侧的水流变快，这反过来造成对河岸更大的侵蚀和更急剧的转弯。转弯越急剧，外侧的水流就越快，侵蚀也就越大，于是河流更为曲折……然而，有一个自然的进程会中止这种紊乱：渐增的绕圈状态的结果将是河流绕回原处而最终短路。河流将变得比较平直，而环路被放弃，形成一个U字形湖。这两种相反的因素之间的平衡导致河流从源头到出口之间的实际长度与直接距离之比的平均值为π。对于那些在坡度很小的平原上穿越的河流，诸如在巴西和西伯利亚冻土带可以找到的那些河流，这个比为π是极常见的。
毕达哥拉斯意识到从音乐的和声到行星的轨道，一切事物中皆藏有数。这导致他宣布“凡物皆数”（Everything is number）。通过探究数学的内涵，毕达哥拉斯发展着使他和其他人能描述宇宙性质的这种语言。此后，数学上的每一次突破都会给科学家们带来为了更好地解释他们周围的现象而需要的词汇。事实上，数学的进展会唤起科学的革命。
除了发现引力定律外，艾萨克·牛顿（Isaac Newton）也是个数学家。他对数学的最大贡献是对微积分的发展。在稍后的年代里，物理学家使用微积分的语言来更好地描述引力定律和解决引力论问题。牛顿的经典引力论幸存了几个世纪未受触动，直到它被阿尔伯特·爱因斯坦的广义相对论所替代；广义相对论对引力作出了更详细的、新的解释。只是由于新的数学概念为他提供了更精妙的语言来表达他的极复杂的科学思想，爱因斯坦本人的思想才可能形成。今天，对引力的解释再一次被数学的突破所影响。最新的量子引力理论和数学中的“弦”的发展密不可分，在弦这种理论中“管”的几何和拓扑性质似乎最好地解释了各种自然力。
毕达哥拉斯定理
在毕达哥拉斯兄弟会研究的数与自然之间的所有关系之中，最重要的是以他们的奠基者的名字命名的那个关系。毕达哥拉斯定理为我们提供了一个方程，它对一切直角三角形都成立，因而它也定义了直角三角形本身。接着，直角定义垂直，即竖直与水平的关系；最后定义我们熟悉的宇宙的三维之间的关系。数学（利用直角）定义了我们生活着的空间的结构。
它是一种深刻的了解，但是为掌握毕达哥拉斯定理所需的数学则是相对简单的。为了理解它，就从测量直角三角形两条短的边的长度（x和y）开始，然后将它们各自加以平方（
x＝3，y＝4，z＝5
9＋16＝25
图2 所有的直角三角形都符合毕达哥拉斯定理。
你现在可以测量那条最长的边z（所谓的斜边），将它的长度平方一下。引人注目的结果是这个数
在一个直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方之和。
换句话说（或者说换个记法）：
显然这很符合图2中的三角形的情况，但出乎意外的是毕达哥拉斯定理对每一个任意画出的直角三角形都是对的。它是数学中一条普遍的定律。无论何时你遇到任何一个有一个直角的三角形时，你都可以应用它。反过来，如果你有一个符合毕达哥拉斯定理的三角形，那么你可以绝对地相信它是一个直角三角形。
虽然这个定理将永远与毕达哥拉斯联系在一起，但中国人和巴比伦人实际上使用这个定理还要早1000年。在这方面，注意到这一点是重要的。然而，这些文明并不知道这个定理对一切直角三角形都是对的。对于他们测试的三角形而言，它肯定是对的，但是他们无法证明它对于他们尚未测试的所有直角三角形都是对的。这个定理归属于毕达哥拉斯的理由是他第一个证明了它的普遍正确。
但是毕达哥拉斯怎样知道这个定理对于每一个直角三角形都是对的呢？他不可能期望测试无限个不同的直角三角形，然而他仍然百分之百地确信这个定理绝对正确。使他有这种信念的理由是数学证明了这个概念。寻找一个数学证明就是寻找一种认识，这种认识比任何别的训练所积累的认识都更不容置疑。最近2500年以来，驱使着数学家们的正是这种以证明的方法发现最终真理的欲望。
毕达哥拉斯定理的意义
毕达哥拉斯的证明是无可辩驳的，它表明他的定理对世界上一切直角三角形都是对的。这个发现是如此重要以致人们用一百头公牛作为祭品来表示对诸神的感恩。这个发现是数学史上的一个里程碑和文明史上最重要的突破之一。它有两方面的重要意义。首先，它发展了证明的思想。一个被证明了的数学结果具有比任何别的真理更可靠的真实性，因为它是一步接一步的逻辑结果。虽然哲学家泰勒斯（Thales）已经开创了某种朴素的几何证明，但毕达哥拉斯大大推进了这种思想，他能够证明深奥得多的数学结果。毕达哥拉斯定理的第二个重要性是将抽象的数学方法与有形的实体结合起来了。
数学证明与科学证明
费马大定理的故事以寻找遗失的证明为中心。数学证明比我们在日常用语中非正式使用的证明概念，甚至比物理学家或化学家所理解的证明概念都远为有力和严格。科学证明和数学证明之间的差别既是极细微的，又是很深奥的。这种差别是理解自毕达哥拉斯以来每个数学家的工作的关键点。
经典的数学证明的办法是从一系列公理、陈述出发，这些陈述有些可以是假定为真的，有些则是显然真的；然后通过逻辑论证，一步接一步，最后就可能得到某个结论。如果公理是正确的，逻辑也无缺陷，那么得到的结论将是不可否定的。这个结论就是一个定理。
数学证明依靠这个逻辑过程，而且一经证明就永远是对的。数学证明是绝对的。为了正确地判断这种证明的价值，应该将它们与比其差一些的同类证明，即科学证明做一比较。在科学中，一个假设被提出来用以解释某一物理现象。如果对物理现象的观察结果与这个假设相符，这就成为这个假设成立的证据。进一步，这个假设应该不仅能描述已知的现象，而且能预言其他现象的结果。可以做实验来测试这个假设的预言能力，如果它再次继续成功，那么就有更多的证据支持这个假设。最终，证据的数量可能达到压倒性的程度，于是这个假设被接受为一个科学理论。
一些有趣的数学问题
图3 缺损棋盘问题。
我们有一张移走两个对角方块的棋盘，它只剩下62个方块。现在我们取31张多米诺骨牌，每一张骨牌恰好能覆盖住2个方块。要问的是：是否可能将这31张多米诺骨牌摆得使它们覆盖住棋盘上的62个方块？
对这个问题有两种处理方法：
（1）科学的处理
科学家将试图通过试验来解答这个问题，在试过几十种摆法后会发现都失败了。最终，科学家相信有足够的证据说棋盘不能被覆盖。然而，科学家永远也不能肯定确实是这种情形，因为可能有某种还没有试过的摆法却能获得成功。摆法有几百万种，只可能尝试其中的一小部分。“这个覆盖不可能做到”的结论是一种基于试验得出的结论，而科学家将不得不承认有这种前景：某天这个理论可能被推翻。
（2）数学的处理
数学家试图通过逻辑论证来回答这个问题，这种论证将推导出无可怀疑地正确并且永远不会引起争议的结论。下面就是一个这样的论证：
● 棋盘上被移去的两个角都是白色的。于是现在有32个黑方块而只有30个白方块。
● 每块多米诺骨牌覆盖2个相邻的方块，而相邻方块的颜色总是不同的，即1块黑色和1块白色。
● 于是，不管如何摆骨牌，最先放在棋盘上的30张多米诺骨牌必定覆盖30个白色方块和30个黑色方块。
● 结果，总是留给你1张多米诺骨牌和2个剩下的黑色方块。
● 但是，请记住每张多米诺骨牌覆盖2个相邻的方块，而相邻方块的颜色是不同的。可是这2个剩下的方块颜色是相同的，所以它们不可能被剩下的1张多米诺骨牌覆盖。于是，覆盖这棋盘是不可能的！
概率问题
概率问题有时是会引起争议的，因为对这种问题数学的答案（也即正确的答案）常常会与直觉所暗示的相反。直觉的这种失败很可能会使人感到惊奇，因为“适者生存”的法则应该提供强烈的进化压力，使人脑自然而然地有能力分析概率问题。你可以想象我们的祖先悄悄地靠近一头幼鹿并盘算着是否发动进攻时的情景。附近有一头成年牡鹿，它准备保卫其后代并使攻击者受到伤害的危险率是多少？另一方面，如果经判断这一次太危险，那么，出现更好的觅食时机的机会又是多少？分析概率的才智应该是我们的遗传构成之一，不过我们的直觉常常误导我们。
最违背直觉的概率问题之一是关于共有生日的可能性问题。假想有一个足球场上运动员和裁判一起共23人。那么，这23人中的任何2个人有相同的生日的概率是多少？23个人，而可选择的生日有365个，似乎极不可能会有人共有同一个生日。如果请人估计这个概率是多少的话，绝大多数人恐怕会猜至多是10％。事实上，正确的回答是刚好超过50％——这就是说，根据概率的测算，球场上有2个人有相同生日的可能性比没有人共有生日的可能性更大。
出现这么高概率的原因是将人们配成一对对的方式的总数总是大于人的总数。当我们寻找共有的生日时，我们需要找成对的人而不是单个的人。因为球场上只有23个人，所以有253种配对。例如，第一个人可以与其余的22个人中的任何一个配对，这样一开始就给出22种配对。然后，第二个人可以与剩下的21人中的任何一个配对（我们已经计算过第二个人与第一个人的配对，所以可能的配对数要减去1），这样给出另外的21种配对。接着，第三个人可以与剩下的20人中的任何一个配对，再给出另外的20种配对，以此类推直到最终我们得到总共253种配对。
在23人的人群中出现一个共有的生日的概率大于50％这个事实，凭直觉似乎是不正确的，但它在数学上则是无可否认的。诸如此类的奇怪的概率恰恰是赌注登记经纪人和赌棍们赖以掠取粗心上当者钱财的依据。当你下次参加一个23人以上的聚会时，你可以押赌注来赌房间中一定有2个人的生日是相同的。请注意对23个人的人群来说这个概率只是略大于50％，而当人数增加时这个概率迅速上升。因此，对一个有30人的聚会来说，赌其中将有2人有相同的生日肯定是值得的。
关于
真正的值接近于3.14159265358979323846，但即使这个值也只不过是一个近似值。事实上，π不可能被精确地写出，因为小数位会永远延续下去且无任何模式。这种随机的模式有一个美妙的特点，即它可以利用一个极有规则的方程来计算：
通过计算开首的几项，你会得到π的一个非常粗糙的值，但若计算越来越多的项，就会达到越来越准确的值。
关于质数
所有的质数（除2外）可以分成两类，一类等于4n＋1，另一类等于4n－1，其中n等于某个整数。所以13属于前面的一类（4×3＋1），而19属于后面的一类（4×5－1）。
关于蝉
然而，实际上我公布的非质数将会有100位以上的数字，这就使找出它的质因数的任务变得几乎是不可能的。即使用世界上最快的计算机来将这个巨大的非质数（打乱信息的密钥）分解成它的两个质因数（整理信息的密钥），也要花几年时间才能得到答案。于是，为挫败外国间谍，我仅仅需要每年一次更改我的密钥。每年一次我宣布我的巨大的非质数，任何人要想尝试整理我的信息，就必须从头开始设法算出这两个质因数。
除了在谍报活动中发现应用外，质数也出现在自然界中。在昆虫中十七年蝉的生命周期是最长的。它们独有的生命周期开始于地下，蝉蛹在地下耐心地吮吸树根中的汁水。然后，经过17年的等待，成年的蝉钻出地面，无数的蝉密集在一起，一时间掩盖了一切景色。在几个星期中，它们交配，产卵，然后死去。
使生物学家困惑的问题是：“为什么这种蝉的生命周期如此之长？”以及“生命周期的年数是质数这一点有无特殊的意义？”另一种昆虫十三年蝉，每隔13年密集一次，也暗示生命周期的年数为质数也许有着某种进化论意义上的优势。
有一种理论假设蝉有一种生命周期也较长的寄生物，蝉要设法避开这种寄生物。如果这种寄生物的生命周期比方说是2年，那么蝉就要避开能被2整除的生命周期，否则寄生物和蝉就会定期相遇。类似地，如果寄生物的生命周期是3年，那么蝉要避开能被3整除的生命周期，否则寄生物和蝉又会定期相遇。所以最终为了避免遇到它的寄生物，蝉的最佳策略是使它的生命周期的年数延长为一个质数。由于没有数能整除17，十七年蝉将很难得遇上它的寄生物。如果寄生物的生命周期为2年，那么它们每隔34年才遇上一次；倘若寄生物的生命周期更长一些，比方说16年，那么它们每隔272（16×17）年才遇上一次。
14-15难题的证明
洛伊德却始终坚信他永远不需要付出这1000美元奖金，因为他知道不可能做到只把两块塑料片调换好而不破坏游戏中其他塑料片之间的次序。采用数学家用来证明某个特定的方程无解所用的同样方法，洛伊德能够证明他的“14—15”难题也是不能解的。
洛伊德的证明首先要定义一个用来衡量游戏中无次序程度的量——错序参数Dp。一个给定排列的错序参数等于次序错误的塑料片对的个数。所以，对正确的排列，如图15（a）中所示，Dp＝0。因为任何两片之间的次序都是对的。
图15 通过滑动调换各片，可以做出各种各样的错序排列。对每种排列可以用错序参数Dp来衡量错序的程度。
如果从次序正常的排列开始，然后将塑料片滑动调换，那么达到图15（b）中所示的排列是比较容易的。看一下片12和11，它们之间的次序是错的。显然，片11应该在片12之前，所以这一对片的次序错误。次序错误的片对一共有下面这些：（12，11），（15，13），（15，14），（15，11），（13，11）和（14，11）。这个排列中次序错误的片对有6对，所以Dp＝6。（注意：片10和片12彼此相邻，这也是不正确的，但是它们的次序并没有错，因而这种片对在错序参数中不予计算。）
再多做一些滑动，我们就到达图15（c）中所示的排列。如果你算一下次序错误的片对的个数，那么你将发现Dp＝12。需注意的要点是，在所有的情形（a）、（b）和（c）中，错序参数的值均为偶数（0，6和12）。事实上，如果你从正确的排列开始，对它进行重新排列，那么上述结论总是对的。只要那个空着的方格在结束时位于右下角，那么不管滑动调换多少次，最后Dp总是偶数值。因此，对于从最初的正确的排列出发而得的排列来说，错序参数的值为偶数是一个共同的性质。在数学中，对于所述对象不管施行多少次变换仍然能保持成立的性质称为不变性质或不变量。
然而，请仔细研究一下洛伊德出售的那种排列，其中14和15被调换了次序，所以它的错序参数是1，即Dp＝1，唯一的次序错误的片对是14和15。对于洛伊德的排列，错序参数是一个奇数值！但是我们知道，从正确的排列出发而得的排列其错序参数值应是偶数。于是，结论是洛伊德的排列不可能是从正确的排列出发得到的，反过来说，也不可能从洛伊德的排列返回到正确的排列——洛伊德的1000美元是安全的。
证明费马大定理的逻辑链
1984年秋，一群优秀的数论家聚集在一起参加在德国黑森林州中部的一个小城奥伯沃尔法赫举行的讨论会。他们聚在一起讨论椭圆方程研究中的各种突破性工作，自然也有些演说者会偶尔报告他们在证明谷山－志村猜想上所取得的小进展。其中一位演说者——来自萨尔布吕肯的格哈德·弗赖（Gerhard Frey）虽然没有对如何解决这个猜想提供任何新的想法，但是他确实提出了引人注目的论断，即如果有人能证明谷山－志村猜想，那么他们也立即能证明费马大定理。
当弗赖站起来准备演讲时，他先写下了费马方程：
费马大定理说这个方程不存在整数解，但弗赖则探索如果大定理是错的，即至少有一个解，那么会出现什么结果。弗赖对于他的这个假设的不寻常的解可能是怎样的毫无想法，所以他把这些未知数用字母编号为A，B和C：
然后弗赖开始“重新安排”这个方程。这是一个严格的数学程序，它改变这个方程的外貌但保持它的完整。通过一系列熟练的复杂的演算，弗赖使具有这个假设解的费马方程变成为：
虽然这种重新安排似乎与原来的方程非常地不同，但它是假设有解的直接结果。也就是说，如果（注意这是一个大假设）费马方程有一个解，即如果费马大定理是错的，那么这个重新排列得到的方程也一定存在。起初，弗赖的听众并未对他的重新排列特别留神，但接着，他指出这个新方程事实上是一个椭圆方程，尽管它相当复杂和古怪。椭圆方程的形式为：
但如果我们令
则很容易理解弗赖方程的椭圆性质。
通过将费马方程转变为一个椭圆方程，弗赖将费马大定理和谷山－志村猜想联系了起来。然后，弗赖向他的听众指出，他的由费马方程的一个解做出的椭圆方程是非常稀奇古怪的。事实上，弗赖声称他的椭圆方程是如此不可思议以至于它的存在产生的影响将毁灭谷山－志村猜想。
记住弗赖的椭圆方程只不过是一个虚拟的方程，它的存在是以费马大定理是错的这个事实为条件的。然而，如果弗赖的椭圆方程确实存在，那么它是如此地古怪以至于它似乎不可能与一个模形式相关。但是谷山－志村猜想断言每一个椭圆方程必定与一个模形式相关。于是，弗赖方程的存在就否定了谷山－志村猜想。
换言之，弗赖的推理如下：
（1）当（且仅当）费马大定理是错的，弗赖的椭圆方程存在。
（2）弗赖的椭圆方程是如此地古怪以致它绝不可能被模形式化。
（3）谷山－志村断言每一个椭圆方程必定可以模形式化。
（4）因而，谷山－志村猜想必定是错的！
另一种选择，也是更重要的，弗赖能够反方向进行他的推理：
（1）如果谷山－志村猜想能被证明是对的，那么每一个椭圆方程必定可以模形式化。
（2）如果每一个椭圆方程必定可以模形式化，那么弗赖的椭圆方程就不可能存在。
（3）如果弗赖的椭圆方程不存在，那么费马方程不能有解。
（4）因而费马大定理是对的！
格哈德·弗赖最终得到了戏剧性的结论：费马大定理的真实性将是谷山－志村猜想一经证明之后的直接结果。弗赖断言，如果数学家能证明谷山－志村猜想，那么他们将自动地证明了费马大定理。几百年来第一次，世界上最坚硬的数学问题看起来变得脆弱了。根据弗赖的说法，证明谷山－志村猜想是证明费马大定理的唯一障碍。
费马大定理现在已经不可摆脱地与谷山－志村猜想联系在一起了，如果有人能证明每一个椭圆方程是模形式，那么这就隐含费马方程无解，于是立即证明了费马大定理。
安德鲁·怀尔斯
在1963年，当时10岁的安德鲁·怀尔斯已经着迷于数学了。他说道：“在学校里我喜欢做题目，我把它们带回家，编写成我自己的新题目。不过我以前找到的最好的题目是在我们的地区图书馆发现的。”
一天，当他从学校漫步回家时，小怀尔斯决定到弥尔顿路上的图书馆去。与大学里的图书馆相比，这里的图书相当匮乏，但它却藏有大量智力测验的书籍，正是这些书籍常常引起安德鲁的注意。这些书中含有各种难解的科学难题和数学之谜，而每个问题的解答可能会扼要地展示在最后几页的某个地方。但是这一次安德鲁被一本书吸引住了，这本书只有一个问题而没有解答。
这本书就是埃里克·坦普尔·贝尔（Eric Temple Bell）写的《大问题》（The Last Problem），它叙述了一个数学问题的历史，这个问题的根子在古希腊，但是达到成熟是在17世纪。正是在那个时候，伟大的法国数学家皮埃尔·德·费马（Pierre de Fermat）于无意之中使它成了此后岁月中的一个挑战性问题。
费马大定理的破解者
那是1986年夏末的一个傍晚,怀尔斯在一个顶楼秘密地开始了对谷山-志村猜想的证明，通过运用和改造科利瓦金－弗莱切方法（这个方法可以将怀尔斯的论证从椭圆方程的第一项扩展到椭圆方程的所有各项，并且有可能它对每一个椭圆方程都有效。），用时8年完成了对谷山-志村猜想的证明，从而也证明了费马大定理。并于1994年送出证明论文手稿，这两篇论文总共有130页，是历史上核查得最彻底的数学稿件，最终发表在《数学年刊》（Annals of Mathematics）上（1995年5月）。
对费马大定理证明地意义
在怀尔斯经受严峻考验的8年中，他实际上汇集了20世纪数论中所有的突破性工作，并把它们融合成一个万能的证明。他创造了全新的数学技术，并将它们和传统的技术以人们从未考虑过的方式结合起来。通过这样的做法，他开辟了处理为数众多的其他问题的新思路。按照肯·里贝特的说法，这个证明是现代数学的完美综合，并将对未来产生影响：“我想假如有人被遗弃在一个无人的荒岛上，而他只带着这篇论文，那么他会有大量的精神食粮。随意翻到某一页，上面可能是对德利涅（Deligne）的某个基本定理的简明描述；再翻到另一页，也许是赫勒古阿切（Hellegouarch）的一个定理——所有这些内容都只被短暂地使用一下就继续转向下一个环节。”
附录：一些其他的证明
1．毕达哥拉斯定理的证明
这个证明的目的是证明毕达哥拉斯定理对一切直角三角形都是对的。上图所示的三角形可以代表任何直角三角形，因为它的边长并未具体指明，而是用字母x，y和z来代表。
同样如上图，四个恒等的直角三角形和一个倾斜的正方形一起组合成一个大的正方形，正是这个大正方形的面积是证明的关键。
这个大正方形的面积可以用两种方法来计算。
方法1：将这个大的正方形作为一个整体来计算它的面积。它的每条边长是x＋y。所以，
方法2：计算出大正方形各个部分的面积。每个三角形的面积是
方法1和方法2给出两个不同的表达式。然而，这两个表达式必须是等价的，因为它们代表同一个面积。于是，
方法1得出的面积＝方法2得出的面积
括弧可以被展开并简化。于是，
两边的2xy可以抵消。所以，我们得到
这就是毕达哥拉斯定理！
上面的论证基于这样一个事实：不论用什么方法计算，大正方形的面积必须是相同的。于是我们从逻辑上推导出这相同的面积的两个表达式，使它们相等起来，最终，必然的结论是
这个论证对一切直角三角形成立。在我们的论证中，三角形的边是用x，y和z表示的，因而可以代表任何直角三角形的边。
2．
欧几里得的目的是证明
在开始证明本身之前，需要对分数和偶数的某些性质有个基本的了解。
（1）如果任取一个非零整数并且用2去乘它，那么得到的新数一定是偶数。这基本上就是偶数的定义。
（2）如果已知一个整数的平方是偶数，那么这个整数本身一定是偶数。
（3）最后，分数可以简化：
现在，记住欧几里得相信
如果我们将两边平方，那么
这个等式很容易重新安排，得出
现在根据第（1）点我们知道p2必定是偶数。此外，根据第（2）点我们知道p本身也必须是偶数。但是，如果p是偶数，那么它可以写成2m，其中m是某个别的整数。这是从第（1）点可以得出的结论。将这再代回到等式中，我们得到
用2除两边，我们得到
但是根据我们前面用过的同样的论证，我们知道q2必须是偶数，因而q本身必须是偶数。如果确实是这样，那么q可以写成2n，其中n是某个别的整数。如果我们回到开始的地方，那么
用2除分子和分母就可以简化2m/2n，我们得到
我们现在得到一个分数m/n，它比p/q简单。
然而，我们发现对m/n可以精确地重复以上同一个过程，在结束时我们将产生一个更简单的分数，比方说g/h。然后又可以对这个分数再重复相同的过程，而新的分数，比方说e/f，将是更为简单的。我们可以对它再作同样的处理，并且一次次地重复这个过程，不会结束。但是根据第（3）点我们知道任何分数不可能永远简化下去，总是必须有一个最简单的分数存在，而我们最初假定的分数p/q似乎不服从这条法则。于是，我们可以有正当的理由说我们得出了矛盾。如果
3．误入荒谬
下面是一个经典的例证，说明很容易从一个非常简单的命题出发，经过几步看上去直截了当的合乎逻辑的推理来证明2＝1。
首先，我们从很普通的命题
a＝b
开始。然后，两边乘以a，得出
接着两边加上
这就可以简化为
最后，两边被a2－ab除，我们得到
2＝1。
最初的命题似乎是，也确实是完全无疑的；但是在对等式的逐步处理中，某个地方有一个微妙的，却是灾难性的错误，它导致了最后的命题陈述中的矛盾。
事实上，致命的错误出现在最后一步，其中用
用零去除任何东西是很危险的一步，因为零可以在任何有限的量中出现无穷多次。由于在两边产生了无穷大，我们实际上彻底破坏了等式的两边，不知不觉中使论证产生了矛盾。
这个微妙的错误是在许多沃尔夫斯凯尔奖的参赛论文中可以发现的典型的一类因粗枝大叶造成的错误。
